Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对R上任意x满足f（x+2）=f（x）+f（2），且f（1）=2，则f（2012）=（ ）
A．2010
B．2012
C．4020
D．4024

Answer

先利用条件f（x+2）=f（x）+f（2），求出f（2），然后利用等差数列的通项公式或累加法可求f（2012）．
【解析】
因为f（x+2）=f（x）+f（2），且函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，
所以令x=-1，得f（-1+2）=f（-1）+f（2），即f（1）=-f（1）+f（2），
所以f（2）=2f（1）=4，即f（x+2）=f（x）+4，所以f（x+2）-f（x）=4．
（方法1构造数列）
所以{f（x+2）}可以看做是以f（0）为首项，d=4为公差的等差数列．
因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）=0．
所以f（2012）为数列中的第1007项，所以f（2012）=f（0）+（1007-1）×4=1006×4=4024．
（方法2累加法）
由f（x+2）-f（x）=4，可得
f（2）-f（0）=4；
f（4）-f（2）=4；
…
f（2012）-f（2010）=4；
等式两边同时相加，得f（2012）-f（0）=1006×4=4024，
因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）=0．
所以f（2012）═4024．
故选D．