Question

如图，矩形ABCD和ABEF中，AF=AD=2AB=2，二面角C-AB-E的大小为60°，G为BC的中点．
（1）求证：AG⊥DE；
（2）求二面角A-ED-G的余弦值．

Answer

（1）证明EG⊥平面ABCD，可得AG⊥EG，利用勾股定理，证明AG⊥DG，从而可得AG⊥平面DEG，即可得到结论；
（2）以G为坐标原点，GD为x轴，GA为y轴，GE为z轴，建立空间直角坐标系，求出面EDG的法向量、平面AED的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论．
（1）证明：由题意，AB⊥BG，AB⊥BE，所以∠EBC为二面角C-AB-E的平面角，即∠EBG=60°
∵ABCD和ABEF是矩形
∴AB⊥平面BGE
∵AB⊂平面ABCD，
∴平面EBG⊥平面ABCD
∵BE=2，BG=1
∴由余弦定理可得EG=
∴BE2=BG2+EG2
∴EG⊥BC
∵AG⊂平面ABCD，
∴EG⊥平面ABCD
∴AG⊥EG，
在矩形ABCD中，G为BC中点，∴AG=DG=，AD=2
∴AG2+DG2=AD2
∴AG⊥DG
∵EG∩DG=G
∴AG⊥平面DEG
∵DE⊂平面DEG
∴AG⊥DE；
（2）【解析】
以G为坐标原点，GD为x轴，GA为y轴，GE为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，，0），D（，0，0），E（0，0，）
∴=（0，），=（）
面EDG的法向量为==（0，，0）
设平面AED的一个法向量为=（x，y，z），则由，可得
∴可取=（3，3，）
∴cos＜＞==
∴二面角A-ED-G的余弦值为．