Question

如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（2，1），直线AB平行于OM，且交椭圆于A，B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求直线AB在y轴上截距的取值范围；
（3）记直线MA，MB斜率分别为k₁，k₂．试问k₁+k₂是否为定值？若是，求出k₁+k₂的值，否则，说明理由．

Answer

（1）设出椭圆方程，利用椭圆的离心率为，且经过点M（2，1），可得方程组，求出几何量，即可求得椭圆的方程；
（2）设出直线AB的方程，代入椭圆方程，利用判别式，即可求直线AB在y轴上截距的取值范围；
（3）利用韦达定理，结合直线的斜率公式，化简即可得到结论．
【解析】
（1）设椭圆方程为
∵椭圆的离心率为，且经过点M（2，1），
∴
∴a2=8，b2=2
∴椭圆方程为；
（2）∵直线AB∥OM，，∴可设直线AB的方程为
代入椭圆方程，可得x2+2mx+2m2-4=0
∴△=（2m）2-4（2m2-4）＞0
∴-2＜m＜2
当m=0时，x=±2，这与直线AB∥OM相矛盾，∴m≠0
∴直线AB在y轴上截距的取值范围是（-2，0）∪（0，2）；
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，
由x2+2mx+2m2-4=0，可得x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4，
∴k1+k2===0
即k1+k2为定值0．