Question

如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中；PA⊥AC上一点．
（1）确定点G的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由；
（2）当二面角B-PC-D的大小为120°时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．

Answer

（1）G是EC的中点，利用三角形中位线的性质，证明FG∥PE，利用线面平行的判定定理，即可得到结论；
（2）过B作BH⊥PC，垂足为H，连接DH，证明∠BHD是二面角B-PC-D的平面角，从而可求PC与底面ABCD所成角的正切值．
【解析】
（1）G是EC的中点，证明如下
连接PE，因为G是EC的中点，F是PC的中点，
∴FG∥PE，
∵PE⊂平面PBD，FG⊄平面PBD，
∴FG∥平面PBD，
（2）过B作BH⊥PC，垂足为H，连接DH，
由已知△PBC≌△PDC，
∴∠BCH=∠DCH，
∴△BCH≌△DCH，
∴DH⊥PC，
∴∠BHD是二面角B-PC-D的平面角．
设底面边长为a，则BD2=2BH2-2BH2cos∠BHD，
∴，
∵PB•BC=PC•BH，
∴，
∴PA=a，
在Rt△PCA中，tan，
即PC与底面ABCD所成角的正切值．