Question

某班级举行一次知识竞赛，活动分为初赛和决赛，现将初赛成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．

分组（分数段）	频数（人数）	频率
（60，70）	______	0.16
（70，80）	22	______
（80，90）	14	0.28
（90，100）	______	______
合计	50	______

（1）填充频率分布表中的空格（直接写出对应空格序号的答案，不必写过程）；
（2）决赛规则如下：参加决赛的同学依次回答主持人的4道题，答对2道就终止答题，并获得一等奖；如果前三道题都答错，就不再回答第四题．某同学甲现已进入决赛（初赛80分以上，不含80分），每题答对的概率P的值恰好等于频率分布表中80分以上的频率值．
①求该同学答完3道题而获得一等奖的概率；
②记该同学决赛中答题的个数为ξ，求ξ的分布列．

Answer

（1）根据样本容量，频率和频数之间的关系得到要求的几个数据；
（2）①该同学恰好答满3道题而获得一等奖，即前2道题中刚好答对1道，第3道也能够答对才获得一等奖，根据相互独立事件的概率公式得到结果．
②答对2道题就终止答题，并获得一等奖，所以该同学答题个数为2、3、4，结合变量对应的概率，写出分布列和期望．
【解析】
（1）由题意，根据样本容量，频率和频数之间的关系得到①0.16×50=8；②=0.44；③50-8-22-14=6④=0.12；⑤合计频率为1；
（2）由（1）得，P=0.28+0.12=0.4，
①该同学恰好答满3道题而获得一等奖，即前2道题中刚好答对1道，第3道也能够答对才获得一等奖，
则有C21×0.4×0.6×0.4=0.192；
②答对2道题就终止答题，并获得一等奖，
∴该同学答题个数为2、3、4，即ξ=2、3、4，
P（ξ=2）=0.42=0.16，
P（ξ=3）=C210.4×0.6×0.4+0.63=0.408，
P（ξ=4）=C310.4×0.62=0.432，
∴ξ的分布列为：
 ξ  2 3  4 
 P  0.16 0.408  0.432