Question

过定点A（1，0）的动圆M与定圆B：（x+1）²+y²=8内切（圆心为B）．
（1）求动圆圆心M的轨迹方程；
（2）设点N（0，1），是否存在直线l交M的轨迹于P，Q两点，使得△NPQ的垂心恰为点A．若存在，求出该直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）设M（x，y），由题意得|MB|=，即＞|AB|=2，由椭圆的定义可得：点M的轨迹是椭圆，求出即可；
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由A是垂心，可得，设直线l的方程为y=x+m，联立．消去y整理得3x2+4mx+2（m2-1）=0，得到根与系数的关系．又AP⊥NQ⇔，可得（x1-1，x1+m）•（x2，x2+m-1）=0，整理为2x1x2+（m-1）（x1+x2）+m（m-1）=0，代入即可解出m．
【解析】
（1）设M（x，y），由题意得|MB|=，即＞|AB|=2，
由椭圆的定义可得：点M的轨迹是以A（1，0），B（-1，0）为焦点的椭圆，
且，2c=2，解得，c=1，b2=a2-c2=1．
故动圆圆心M的轨迹方程为．
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
∵A是垂心，∴，
设直线l的方程为y=x+m，联立．
消去y整理得3x2+4mx+2（m2-1）=0，
∴，，又AP⊥NQ，
∴，∴（x1-1，x1+m）•（x2，x2+m-1）=0，整理为2x1x2+（m-1）（x1+x2）+m（m-1）=0，
∴，解之得m=1（舍去）或．
经检验m=-符合题意，故存在符合题意的直线l：．