Question

已知函数f（x）=lnx+x²-ax（a∈R）．
（1）若f（x）在其定义域上为增函数，求a的取值范围；
（2）若f（x）存在极值，试求a的取值范围，并证明所有极值之和小于-3+ln；
（3）设a_n=1+（n∈N^*），求证：3（a₁+a₂+…+a_n）-（a₁²+a₂²+…+a_n²）＜ln（n+1）+2n．

Answer

（1）f（x）在其定义域（（0，+∞）上为增函数，即f′（x）=-a，x＞0，分离参数a，转化为a≤，x＞0恒成立．
（2）由已知，f′（x）=0在（0，+∞）内有穿越型的零点，即2x2-ax+1=0在（0，+∞）内有穿越型的零点，
构造g（x）=2x2-ax+1，利用二次函数性质求解．
（3）令a=3，则f（x）=lnx+x2-3x，f（x）在（1，+∞）上为增函数，所以f（x）＞f（1）=-2，即lnx+x2-3x＞-2，3x-x2＜lnx+2，利用此规律进行证明．
【解析】
（1）f′（x）=-a，x＞0，
由已知，f′（x）＞0对x＞恒成立，
即a≤，x＞0，由于≥2=，所以a≤
（2）由已知，f′（x）=0在（0，+∞）内有穿越型的零点，即2x2-ax+1=0在（0，+∞）内有穿越型的零点，
记g（x）=2x2-ax+1，由于g（0）=0，所以，解得a＞．
设f（x）的两个极值点为x1，x2，则x1+x2=，x1x2=，∴f（x1）+f（x2）=（lnx1+x12-ax1）+（lnx2+x22-ax2）
=lnx1x2-a（x1+x2）+（x1+x2）2-2x1x2
=ln-+-1=--1+ln＜-3+ln，所以所有极值之和小于-3+ln；
（3）令a=3，则f（x）=lnx+x2-3x，x＞1，f′（x）==＞0，
即f（x）在（1，+∞）上为增函数，所以f（x）＞f（1）=-2，
即lnx+x2-3x＞-2，3x-x2＜lnx+2，
∴3（a1+a2+…+an）-（a12+a22+…+an2）＜ln（（a1a2…an）+2n=ln（n+1）+2n．