Question

已知AB是抛物线y²=ax（a＞0）的焦点弦，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），点F是抛物线的焦点，则有S_△AOB=    （θ为直线AB的倾斜角）．

Answer

设直线AB的方程为x=my+，与抛物线方程联解利用根与系数的关系算出x1+x2=am2+，结合抛物线的定义得到|AB|=a（m2+1）=．利用解三角形算出O到AB的距离d=，从而算出S△AOB=•|AB|•d=．
【解析】
∵抛物线y2=ax（a＞0）的焦点坐标为F（，0）
∴设直线AB的方程为x=my+，（m是斜率tanθ的倒数）
代入y2=ax，可得y2-amy-=0
∴y1+y2=am，y1y2=-，
可得y12+y22=（y1+y2）2-2y1y2=a2m2+，
∵y12+y22=a（x1+x2），∴x1+x2=am2+，
∴焦点弦|AB|=x1+x2+=am2+a=a（m2+1），
∵m2+1=+1=
∴|AB|=am2+a=
∵∠OFB=θ，得O到AB的距离d=|OF|sinθ=
∴S△AOB=•|AB|•d=••=
故答案为：