Question

如图，椭圆+=1 （a＞b＞0）的上、下顶点分别为A、B，已知点B在直线l：y=-1上，且椭圆的离心率e=．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PQ⊥y轴，Q为垂足，M为线段PQ中点，直线AM交直线l于点C，N为线段BC的中点，求证：OM⊥MN．

Answer

（Ⅰ）依题意，得b=1．由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设P（x1，y1），x1≠0，则Q（0，y1），且．由M为线段PQ中点，知M（）．由A（0，1），知直线AM的方程为y=．由此能够证明OM⊥MN．
（本小题满分13分）
【解析】
（Ⅰ）依题意，得b=1． （1分）
∵e==，a2-c2=b2=1，
∴a2=4．（3分）
∴椭圆的标准方程为．（4分）
（Ⅱ）证明：设P（x1，y1），x1≠0，
则Q（0，y1），且．
∵M为线段PQ中点，∴M（）．（5分）
又A（0，1），∴直线AM的方程为y=．
∵x1≠0，∴y1≠1．
令y=-1，得C（）．  （8分）
又B（0，-1），N为线段BC的中点，
∴N（，-1）．（9分）
∴=（）． （10分）
∴=+y1•（y1+1）
=+
=
=1-（1+y1）+y1=0．（12分）
∴OM⊥MN．