Question

在直角坐标系中，角φ、2x的终边分别与单位圆（以原点O为圆心）交于A、B两点，函数，若对x∈R恒成立．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的对称轴与单调递减区间．

Answer

（1）利用向量的数量积公式，结合对x∈R恒成立，确定函数的解析式；
（2）利用余弦函数的性质，即可求函数f（x）的对称轴与单调递减区间．
【解析】
（1）∵角φ、2x的终边分别与单位圆（以原点O为圆心）交于A、B两点，
∴=（cosφ，sinφ），=（cos2x，sin2x）
∴=cosφcos2x+sinφsin2x=cos（2x-φ）
∵对x∈R恒成立，
∴=1，即cos（2×-φ）=1
∴
∴φ=，k∈Z
∴f（x）=cos[2x-（2kx+）]=cos（2x-），
即函数f（x）的解析式为f（x）=cos（2x-）
（2）由（1）知，f（x）=cos（2x-），
令2x-=kπ，k∈Z，得x=，k∈Z，
∴f（x）的对称轴为x=，k∈Z，
∵2kπ，k∈Z，
kπ，k∈Z，
故函数f（x）的单调递减区间为[]，k∈Z，