Question

从椭圆C₁：（a＞b＞0）和抛物线C₂：x²=2py（p＞0）上各取两点．将其坐标记录于表中：

x	-3	0	1
y

（1）求椭圆C₁和抛物线C₂的方程；
（2）椭圆C₁和抛物线C₂的交点记为A、B，点M为椭圆上任意一点，求的取值范围．

Answer

（1）先利用=2p（常数）判断哪两点在抛物线C2上，从而另外两点在椭圆C1上．再利用待定系数法，即可求出椭圆C1和抛物线C2的方程；
（2）设点M的坐标为（x，y），利用数量积的坐标公式将转化成x，y的式子，结合点M在椭圆C1上可得x，y满足的关系式，从而将表示成关于y的代数式，利用配方法并根据y的范围加以计算，即可得到的取值范围．
【解析】
（1）根据抛物线方程x2=2py，经验证知点（-3，）、（1，）在抛物线C2上，
由此可得（-3）2=2p×，解得2p=4，抛物线C2方程为x2=4y，
∵点（0，）、（，）在椭圆C1上，
∴，解之得a2=8，b2=2，得椭圆C1方程为；
（2）将椭圆C1方程与抛物线方程联解，得A（-2，1），B（2，1）
设点M的坐标为（x，y），可得，
∴=（-2-x）（2-x）+（1-y）（1-y）=x2-4+y2-2y+1
结合椭圆方程，化简得=-3-2y+5=-3（y+）2+
∵y∈[-2，2]，∴-3（y+）2+∈[-1-，]
即的取值范围[-1-，]．