Question

对任意一个非零复数z，定义集合．
（Ⅰ）设α是方程的一个根．试用列举法表示集合M_a，若在M_a中任取两个数，求其和为零的概率P；
（Ⅱ）设复数ω∈M_z，求证：M_ω⊆M_z．

Answer

（Ⅰ）由α是方程的根，可得．当时，由，可得=． 当时，同理求得．由此求得在Ma中任取两个数，求其和为零的概率．
（Ⅱ）由ω∈Mz，可得存在m∈N，使得ω=z2m-1．于是对任意n∈N，ω2n-1=z（2m-1）（2n-1），由于（2m-1）（2n-1）是正奇数，ω2n-1∈Mz，命题得证．
【解析】
（Ⅰ）∵α是方程的根，∴．…（2分）
当时，∵，
∴=．
当时，∵，
∴=．
当时，∵，∴．
因此，不论α取哪一个值，集合Mα是不变的，即．…（8分）
于是，在Ma中任取两个数，求其和为零的概率 ．…（10分）
（Ⅱ）证明：∵ω∈Mz，∴存在m∈N，使得ω=z2m-1．…（12分）
于是对任意n∈N，ω2n-1=z（2m-1）（2n-1），由于（2m-1）（2n-1）是正奇数，ω2n-1∈Mz，所以Mω⊆Mz．…（14分）