Question

已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，0＜ω≤2，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象过点M（0，2），又f（x）的图象关于点N（，0）对称，且在区间[0，π]上是减函数，则f（x）=（ ）
A．2cos
B．2cos2
C．2cos
D．2cos

Answer

根据函数y=Asin（ωx+φ）是R上的偶函数，求得φ=．由于函数的图象过点M（0，2），求得 A=2，可得函数y=2cosωx．再由f（x）的图象关于点N（，0）对称，可得ω•+=kπ，k∈z ①．根据函数f（x）在区间[0，π]上是减函数求得ω≤1②，检验各个选项中的函数是否同时满足①②，从而得出结论．
【解析】
根据函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，0＜ω≤2，0≤φ≤π）是R上的偶函数，故φ=．
由于函数的图象过点M（0，2），可得Asinφ=Asin=2，∴A=2，故函数y=2cosωx．
再由f（x）的图象关于点N（，0）对称，可得ω•+=kπ，k∈z ①．
根据函数f（x）在区间[0，π]上是减函数可得它的周期≥2π，∴ω≤1，故排除B．
经过检验，ω=1和ω=，都不满足①，故排除A，D，而ω=满足①，
故选C．