Question

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为棱BB₁的中点．
（1）求平面A₁DM与平面ABCD所成的锐二面角的大小；
（2）求点B到平面A₁DM的距离．

Answer

（1）延长A1M，与AB的延长线交于点O，连接OD，过B作BE⊥DO，垂足为E，连接ME，则ME⊥DO，可得∠MEB为平面A1DM与平面ABCD所成的锐二面角的平面角；
（2）过点B做BF⊥ME，证明BF⊥平面A1DM，从而BF为点B到平面A1DM的距离，利用等面积，即可求BF⊥平面A1DM
∴BF为点B到平面A1DM的距离，
【解析】
（1）延长A1M，与AB的延长线交于点O，连接OD，过B作BE⊥DO，垂足为E，连接ME，则ME⊥DO
∴∠MEB为平面A1DM与平面ABCD所成的锐二面角的平面角
∵M为棱BB1的中点，棱长为2，
∴MB=1
∵DO•BE=AD•BO
∴
∴tan∠MEB==
∴所求二面角的大小为arctan；
（2）过点B做BF⊥ME，
由（1）知DO⊥平面MBE
∵DO⊂平面A1DM
∴平面A1DM⊥平面MBE
∵BF⊥ME，平面A1DM∩平面MBE=ME
∴BF⊥平面A1DM
∴BF为点B到平面A1DM的距离，
∵，MB=1
∴ME=
∵ME•BF=MB•BE
∴BF===．