Question

如图，已知直线L：x=my+1过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，点A、F、B在直线G；x=a²上的射影依次为点D、K、E，若抛物线x²=4y的焦点为椭圆C的顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线L交y轴于点M，=λ₁，=λ₂，当M变化时，求λ₁+λ₂的值．

Answer

（1）求出抛物线的焦点，可得b的值，结合F的坐标，即可确定椭圆的方程；
（2）直线x=my+1代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量条件，即可求λ1+λ2的值．
【解析】
（1）抛物线x2=4y的焦点为（0，），且为椭圆C的上顶点
∴b=，∴b2=3，
又F（1，0），∴c=1，a2=b2+c2=4．
∴椭圆C的方程为；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则
直线x=my+1代入椭圆方程，整理可得：（3m2+4）y2+6my-9=0，
故△=144（m2+1）＞0．
∴y1+y2=-，y1y2=-
∴
∵=λ1，∴（x1，y1+）=λ1（1-x1，-y1）．
∴λ1=-1-．
同理λ2=-1-
∴λ1+λ2=-2-（）=-．