Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，其前n项和为S_n，且当n≥2时，a_n+1S_n-1-a_nS_n=0．
（Ⅰ）求证：数列{S_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）令，记数列{b_n}的前n项和为T_n，证明对于任意的正整数n，都有成立．

Answer

（1）由Sn与an的关系得an+1Sn-1-anSn=（Sn+1-Sn）Sn-1-（Sn-Sn-1）Sn=Sn+1Sn-1-Sn2整理得Sn2=Sn-1Sn+1s所以数列{Sn}是等比数列
（2）由（1）先求出Sn=4n-1接着当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3×4n-2验证n=1也成立，可求出数列{an}的通项公式．
（3）把an的通项公式代入得bn的通项公式求出Tn，利用其单调性与放缩法证明不等式．
（Ⅰ）证明：当n≥2时，
an+1Sn-1-anSn=（Sn+1-Sn）Sn-1-（Sn-Sn-1）Sn=Sn+1Sn-1-Sn2，
所以Sn2=Sn-1Sn+1（n≥2）．
又由S1=1≠0，S2=4≠0，可推知对一切正整数n均有Sn≠0，
∴数列{Sn}是等比数列．                                   
（Ⅱ）【解析】
由（Ⅰ）知等比数列{Sn}的首项为1，公比为4，
∴Sn=4n-1．当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3×4n-2，又a1=S1=1，
∴
（Ⅲ）证明：当n≥2时，an=3×4n-2，
此时=，
又，
∴．                       
当n≥2时，
=

=．                                 
又因为对任意的正整数n都有bn＞0，所以Tn单调递增，即Tn≥T1，
∵
所以对于任意的正整数n，都有成立．