Question

设函数．
（Ⅰ） 讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若x≥0时，恒有f（x）≤ax³，试求实数a的取值范围；
（Ⅲ）令，试证明：．

Answer

（I）先求导数，再求出f'（x）＞0时x的范围；并且求出f'（x）＜0时x的范围；进而解决单调性问题．
（II）令g（x）=f（x）-ax3=x-ln（x+）-ax3．则g′（x）=，令h（x）=，求其导数，下面对a进行分类讨论：（1）当a≥时，（2）当0＜a＜时，（3）当a≤0时，h′（x）＞0，最后综合得出实数a的取值范围．
（III）在（II）中取a=，则x∈[0，]，时，x-ln（x+）＞x3，即x3+ln（x+）＜x，令x=（）2n，利用等比数列求和公式即可证明结论．
【解析】
（I）函数的定义域为R，
由于f′（x）=1-≥0，
知f（x）是R上的增函数．
（II）令g（x）=f（x）-ax3=x-ln（x+）-ax3．
则g′（x）=，
令h（x）=，
则h′（x）=，
（1）当a≥时，h′（x）≤0，从而h（x）是[0，+∞）上的减函数，因h（0）=0，则x≥0时，h（x）≤0，也即g′（x）≤0，进而g（x）是[0，+∞）上的减函数，
注意g（0）=0，则x≥0时，g（x）≤0，也即f（x）≤ax3，
（2）当0＜a＜时，在[0，]，h′（x）＞0，从而x∈[0，]时，也即f（x）＞ax3，
（3）当a≤0时，h′（x）＞0，同理可知：f（x）＞ax3，
综合，实数a的取值范围[，+∞）．
（III）在（II）中取a=，则x∈[0，]，时，x-ln（x+）＞x3，即x3+ln（x+）＜x，
令x=（）2n，则＜（）2n，
∴