Question

如图所示四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角的大小为，求四面体ABCD的体积．

Answer

建立如图所示坐标系，得A、B、C、D各点的坐标，利用向量数量积的公式结合AD、BE所成角为，解出BD的长度是4，最后运用锥体的体积公式即可算出四面体ABCD的体积．
【解析】
以BC、BA、BD为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，…（2分）
由题意得A（0，2，0），C（2，0，0），E（1，1，0）
设D点的坐标为（0，0，z）（z＞0），
则，…（6分）
∴，
∵AD与BE所成的角的大小为，可得，
∴代入上式，解之得z=4，即BD的长度是4，…（10分）
因此，三棱锥D-ABC的体积
==，
即四面体ABCD的体积是，…（12分）