Question

在XOY平面上有一点列P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n），…，对每个自然数n，点P，位于函数的图象上，且点P_n，点（n，0）与点（n+1.0）构成一个以P_n为顶点的等腰三角形．
（Ⅰ）求点P_n的纵坐标b_n的表达式．
（Ⅱ）若对每个自然数n，以b_n，b_n+1，b_n+2为边长能构成一个三角形，求a取值范围．
（Ⅲ）设B_n=b₁b₂…b_n（n∈N）．，若a取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列{B_n}的最大项的项数．

Answer

（I）利用点Pn，点（n，0）与点（n+1.0）构成一个以Pn为顶点的等腰三角形，可得点Pn（an，bn）在两点（n，0）与（n+1，0）连线的中垂线上，求出an，即可求点Pn的纵坐标bn的表达式．
（Ⅱ）函数递减，可得对每一个自然数n有bn＞bn+1＞bn+2，进而由bn，bn+1，bn+2为边长能构成一个三角形，可得bn+2+bn+1＞bn，由此可求a的取值范围；
（III）确定数列{Bn}的最大项的项数n满足不等式bn≥1且bn+1＜1，即可确定结论．
【解析】
（I）由题意，∵点Pn，点（n，0）与点（n+1.0）构成一个以Pn为顶点的等腰三角形，
∴点Pn（an，bn）在两点（n，0）与（n+1，0）连线的中垂线上，
∴，∴，…（4分）
（II）∵函数递减，
∴对每个自然数n，有bn＞bn+1＞bn+2，则以bn，bn+1，bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2bn+1bn，
即…（7分）
解得或
∴，…（10分）
（III）∵，a取（2）中确定的范围内的最小整数，
∴a=7，
∴…（12分）
∴数列{bn}是一个递减的正数数列，对每个自然数n≥2，Bn=bnBn-1，
于是当bn≥1时，Bn≥Bn-1，当bn＜1时，Bn＜Bn-1，
因此，数列{Bn}的最大项的项数n满足不等式bn≥1且bn+1＜1．
由得n≤20.8，
∴n=20．…（16分）