Question

已知复数z=1-mi（m＞0），z=x+yi和w=x'+y'i，其中x，y，x'，y'均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有w=，|w|=2|z|．
（Ⅰ）试求m的值，并分别写出x'和y'用x、y表示的关系式；
（Ⅱ）将（x、y）作为点P的坐标，（x'、y'）作为点Q的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q，当点P在直线y=x+1上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程；
（Ⅲ）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由．

Answer

（Ⅰ）由题设，，求出|z|=2，继而求出m，再根据复数相等得出x'和y'用x、y表示的关系式；
（Ⅱ）利用转换，代换的方法，求轨迹方程；
（Ⅲ）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，所求直线可设为y=kx+b（k≠0）
结合以上两问求解．
【解析】
（Ⅰ）由题设，，∴|z|=2，
于是由，…（3分）
因此由，
得关系式…（5分）
（Ⅱ）设点P（x，y）在直线y=x+1上，则其经变换后的点Q（x'，y'）满足，…（7分）
消去x，得，
故点Q的轨迹方程为…（10分）
（3）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，
∴所求直线可设为y=kx+b（k≠0），…（12分）
[解法一]∵该直线上的任一点P（x，y），其经变换后得到的点仍在该直线上，
∴，
即，
当b≠0时，方程组无解，
故这样的直线不存在．                                            …（16分）
当b=0时，由，
得，
解得或，
故这样的直线存在，其方程为或，…（18分）
[解法二]取直线上一点，其经变换后的点仍在该直线上，
∴，
得b=0，…（14分）
故所求直线为y=kx，取直线上一点P（0，k），其经变换后得到的点仍在该直线上．
∴，…（16分）
即，得或，
故这样的直线存在，其方程为或，…（18分）