Question

在xoy平面上有一点列P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），P₃（a₃，b₃），…，P_n（a_n，b_n），…，对每个自然数n，点P_n位于函数，（0＜a＜10）的图象上，且点P_n、点（n，0）与点（n+1，0）构成一个以P_n为顶点的等腰三角形．
（Ⅰ）求点P_n的纵坐标b_n的表达式；
（Ⅱ）若对每个自然数n，以b_n，b_n+1，b_n+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；
（Ⅲ）设，若a取（Ⅱ）中确定的范围内的最小整数，问数列{C_n}前多少项的和最大？试说明理由．（lg2=0.3010，lg7=0.8450）

Answer

（Ⅰ）由于三角形为等腰三角形，所以点Pn（an，bn）在两点（n，0）与（n+1，0）连线的中垂线上，结合点Pn（an，bn）在函数（0＜a＜10）的图象上，可得结论；
（Ⅱ）根据函数（0＜a＜10）是单调递减，可得对每一个自然数n有bn＞bn+1＞bn+2，进而由bn，bn+1，bn+2为边长能构成一个三角形，可得bn+2+bn+1＞bn，由此可求a的取值范围；
（Ⅲ）先确定数列{Cn}是一个递减的等差数列，再根据当Cn≥0且Cn+1＜0时，数列{Cn}的前n项的和最大，即可得到结论．
【解析】
（Ⅰ）由于三角形为等腰三角形，所以点Pn（an，bn）在两点（n，0）与（n+1，0）连线的中垂线上，
从而an=n+，又因为点Pn（an，bn）在函数（0＜a＜10）的图象上，所以bn=2000（）n+；
（Ⅱ）∵函数（0＜a＜10）是单调递减，∴对每一个自然数n有bn＞bn+1＞bn+2，
又因为以bn，bn+1，bn+2为边长能构成一个三角形，所以bn+2+bn+1＞bn，从而
∵0＜a＜10，∴5（-1）＜a＜10
（Ⅲ）∵5（-1）＜a＜10，∴a=7，∴，
于是
∴数列{Cn}是一个递减的等差数列．
因此，当且仅当Cn≥0且Cn+1＜0时，数列{Cn}的前n项的和最大．
由得n≤20.8，
∴n=20．