Question

设函数f（x）=ax³-2bx²+cx+4d（a，b，c，d∈R）的图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取得极小值．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[-1，1]时，函数f（x）的图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线相互垂直？试说明你的结论；
（3）设f（x）表示的曲线为G，过点（1，-10）作曲线G的切线l，求l的方程．

Answer

（1）利用条件图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取得极小值．得到对应的条件，然后求出a，b，c，d．
（2）设两点的坐标，求出对应的导数，利用过此两点处的切线相互垂直，得到导数之积为-1，然后判断．
（3）设切点坐标，然后求切线方程，利用过点（1，-10），求出切点坐标，进而可得直线方程．
【解析】
（1）f（x）=ax3-2bx2+cx+4d（a，b，c，d∈R）的图象关于原点对称，
所以函数f（x）为奇函数，所以b=d=0．
即f（x）=ax3+cx，f'（x）=3ax2+c．
当x=1时，f（x）取得极小值，
所以f'（1）=3a+c=0且，解得．
所以．
（2）假设函数f（x）的图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得过此两点处的切线相互垂直．
则由f'（x）=x2-1知两点的切线的斜率分别为．
因为x1，x2∈[-1，1]，所以，，
所以，与矛盾，
所以假设不成立，即不存在两点，使得过此两点处的切线相互垂直．
（3）设切点坐标为P（x，y），则切线方程为，
因为过点（1，-10），所以，
消去y得，所以，
解得x=3，y=9-3=6，
即切点为（3，6）．
所以切线方程为8x-y-18=0．