Question

如图，F₁，F₂分别是双曲线C：-=1（a，b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F₁B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M，若|MF₂|=|F₁F₂|，则C的离心率是    ．

Answer

依题意可求得直线F1B的方程，与双曲线C的方程联立，利用韦达定理可求得PQ的中点坐标，从而可得线段PQ的垂直平分线的方程，继而可求得M点的坐标，从而可求得C的离心率．
【解析】
依题意F1（-c，0），B（0，b），
∴直线F1B的方程为：y-b=x，与双曲线C的方程联立得：b2x2-a2=0，
整理得：x2-x-a2b2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则x1，x2为上面方程的两根，由韦达定理得：x1+x2=，y1+y2=（x1+x2）+2b=，
∴PQ的中点N（，），又直线MN的斜率k=-（与直线F1B垂直），
∴直线MN的方程为：y-=-（x-），令y=0得M点的横坐标x=c+=．
∵|MF2|=|F1F2|，
∴-c=2c．
∴c2=3b2=3（c2-a2），
∴c2=a2，
∴e==．
故答案为：．