Question

在平面直角坐标系xOy中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F₁（-1，0），P为椭圆G的上顶点，且∠PF₁O=45°．
（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；
（Ⅱ）已知直线l₁：y=kx+m₁与椭圆G交于A，B两点，直线l₂：y=kx+m₂（m₁≠m₂）与椭圆G交于C，D两点，且|AB|=|CD|，如图所示．（ⅰ）证明：m₁+m₂=0；（ⅱ）求四边形ABCD的面积S的最大值．

Answer

（Ⅰ）根据F1（-1，0），∠PF1O=45°，可得b=c=1，从而a2=b2+c2=2，故可得椭圆G的标准方程；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．
（ⅰ）直线l1：y=kx+m1与椭圆G联立，利用韦达定理，可求AB，CD的长，利用|AB|=|CD|，可得结论；
（ⅱ）求出两平行线AB，CD间的距离为d，则 ，表示出四边形ABCD的面积S，利用基本不等式，即可求得四边形ABCD的面积S取得最大值．
（Ⅰ）【解析】
设椭圆G的标准方程为．
因为F1（-1，0），∠PF1O=45°，所以b=c=1．
所以，a2=b2+c2=2．…（2分）
所以，椭圆G的标准方程为．…（3分）
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．
（ⅰ）证明：由消去y得：．
则，…（5分）
所以 ===．
同理 ．…（7分）
因为|AB|=|CD|，
所以 ．
因为 m1≠m2，所以m1+m2=0．…（9分）
（ⅱ）【解析】
由题意得四边形ABCD是平行四边形，设两平行线AB，CD间的距离为d，则 ．因为 m1+m2=0，所以 ．…（10分）
所以 =．
（或）
所以 当时，四边形ABCD的面积S取得最大值为．…（12分）