设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆上的两点，已知向量=（，），=（，），...

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆 manfen5.com 满分网

上的两点，已知向量

=（

，

），

=（

，

），若

=0且椭圆的离心率e= manfen5.com 满分网

，短轴长为2，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

（1）依题意可求得b，进而根据离心率求得a，则椭圆方程可得．（2）先看当直线AB斜率不存在时，即x1=x2，y1=y2，根据=0代入求得x12-=0把点A代入椭圆方程，求得A点横坐标和纵坐标的绝对值，进而求得△AOB的面积的值；当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b与椭圆方程联立消去y，根据伟大定理求得x1+x2和x1x2的表达式代入=0中整理可求得2b2-k2=4代入三角形面积公式中求得求得△AOB的面积的值为定值．最后综合可得答案．【解析】（1）依题意知2b=2，∴b=1，e=== ∴a=2，c== ∴椭圆的方程为（2）①当直线AB斜率不存在时，即x1=x2，y1=y2， ∵=0 ∴x12-=0 ∴y12=4x12 又A（x1，y1）在椭圆上，所以x12+=1 ∴|x1|=，|y1|= s=|x1||y1-y2|=1 所以三角形的面积为定值． ②当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b 消去y得（k2+4）x2+2kbx+b2-4=0 ∴x1+x2=，x1x2=，△=（2kb）2-4（k2+4）（b2-4）＞0 而=0， ∴x1x2+=0 即x1x2+=0代入整理得 2b2-k2=4 S=|AB|=|b|= ===1 综上三角形的面积为定值1．

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考点分析：

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已知点

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的椭圆C：

上的一点．斜率为

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（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？
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试题属性

题型：解答题
难度：中等