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已知椭圆C:manfen5.com 满分网的离心率为manfen5.com 满分网,定点M(2,0),椭圆短轴的端点是B1,B2,且MB1⊥MB2
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A,B两点.试问x轴上是否存在定点P,使PM平分∠APB?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
(Ⅰ)利用离心率为,可得,由椭圆短轴的端点是B1,B2,且MB1⊥MB2,可得△MB1B2是等腰直角三角形,由此可求椭圆C的方程; (Ⅱ)设线AB的方程与椭圆C的方程联立,利用韦达定理,结合PF平分∠APB,则直线PA,PB的倾斜角互补,建立方程,即可求得结论. 【解析】 (Ⅰ)由 ,得 .…(2分) 依题意△MB1B2是等腰直角三角形,从而b=2,故a=3.…(4分) 所以椭圆C的方程是.…(5分) (Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为x=my+2. 将直线AB的方程与椭圆C的方程联立,消去x得 (4m2+9)y2+16my-20=0.…(7分) 所以 ,.…(8分) 若PF平分∠APB,则直线PA,PB的倾斜角互补,所以kPA+kPB=0.…(9分) 设P(a,0),则有 . 将 x1=my1+2,x2=my2+2代入上式,整理得 , 所以 2my1y2+(2-a)(y1+y2)=0.…(12分) 将 ,代入上式,整理得 (-2a+9)•m=0.…(13分) 由于上式对任意实数m都成立,所以 . 综上,存在定点,使PM平分∠APB.…(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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