Question

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切，A．B分别是椭圆的左、右顶点，P为椭圆C上的动点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若P与A、B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k₁、k₂，证明：k₁•k₂为定值；
（3）若M为过P且垂直于x轴的直线上的点，且=2，求点M的轨迹方程．

Answer

（1）写出圆的方程，利用直线与圆相切的充要条件列出方程求出b的值，利用椭圆的离心率公式得到a，c的关系，再利用椭圆本身三个参数的关系求出a，c的值，从而可得椭圆的方程；
（2）设出P的坐标，将其代入椭圆的方程得到P的坐标的关系，写出A，B的坐标，利用两点连线的斜率公式求出k1，k2，将P的坐标的关系代入k1k2化简求出其值．
（3）设出M的坐标，求出P的坐标，利用两点的距离公式将已知的几何条件用坐标表示，化简即可求点M的轨迹方程．
（1）【解析】
由题意可得圆的方程为x2+y2=b2，
∵直线x-y+2=0与圆相切，
∴d==b，即b=，
又e==，即a=c，
∵a2=b2+c2，
∴a=，c=1，
∴椭圆方程为；
（2）证明：设P（x，y）（y≠0），A（-，0），B（，0），
∴k1=，k2=
∵，∴，
∴k1•k2===-；
（3）【解析】
设M（x，y），其中x∈[-，]．
由已知=2及点P在椭圆C上可得=4
整理得，其中x∈[-，]．