Question

定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）=cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）=1-|x-3|．若函数的所有极大值点均落在同一条直线上，则c=    ．

Answer

由已知中定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）=cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）=1-|x-3|．我们可得分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，进而根据三点共线，则任取两点确定的直线斜率相等，可以构造关于c的方程，解方程可得答案．
【解析】
∵当2≤x≤4时，f（x）=1-|x-3|．
当1≤x＜2时，2≤2x＜4，
则，
此时当x=时，函数取极大值
当2≤x≤4时，
f（x）=1-|x-3|；
此时当x=3时，函数取极大值1
当4＜x≤8时，2＜≤4，
则，
此时当x=6时，函数取极大值c
∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上，
即点共线，
∴
解得c=1或2．
故答案：1或2