Question

已知曲线，则曲线的切线斜率取得最小值时的切线被圆C：x²+y²=4截得的弦长等于（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

由求导公式和法则求出导数并化简，再由ex＞0和基本不等式，求出导数的最小值和切点坐标，代入点斜式方程并化为一般式，由点到直线的距离公式求出圆心到切线的距离，再代入弦长公式求出即可．
【解析】
由题意得，==，
∵ex＞0，∴≥2=2，当且仅当时取等号，此时x=0，
∴，则≥，当x=0时取等号，
∴当x=0时，曲线的切线斜率取最小值，则切点的坐标（0，1），
∴切线的方程是：y-1=（x-0），即x+2y-2=0，
圆C：x2+y2=4的圆心（0，0）到切线的距离是=，
∴切线被圆C：x2+y2=4截得的弦长为2×=，
故选C．