Question

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，若以F₂为圆心，b-c为半径作圆F₂，过椭圆上一点P作此圆的切线．切点为T，且|PT|的最小值为，则椭圆的离心率e的取值范围是    ．

Answer

利用切线的性质和勾股定理可得|PT|=，利用椭圆的性质可得|PF2|的最小值为a-c，再利用题意可|PT|的最小值为，即可得出离心率e 满足的不等式，再利用b＞c，可得b2＞c2，即a2-c2＞c2，又得出e满足的不等式，联立解出即可．
【解析】
∵|PT|=，而|PF2|的最小值为a-c，
∴，
∴（a-c）2≥4（b-c）2，∴a-c≥2（b-c），
∴a+c≥2b，∴（a+c）2≥4（a2-c2），
化为5c2+2ac-3a2≥0，即5e2+2e-3≥0  ①．
∵b＞c，∴b2＞c2，
∴a2-c2＞c2，∴a2＞2c2，∴．②
由①②解得．
故椭圆离心率的取值范围为．
故答案为．