Question

已知椭圆C₁：的离心率为e，且b，e，为等比数列，曲线y=8-x²恰好过椭圆的焦点．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设双曲线C₂：的顶点和焦点分别是椭圆C₁的焦点和顶点，设O为坐标原点，点A，B分别是C₁和C₂上的点，问是否存在A，B满足．请说明理由．若存在，请求出直线AB的方程．

Answer

（1）先确定c的值，再利用b，e，为等比数列，结合a2=b2+c2，求出几何量，即可得到椭圆C1的方程；
（2）假设存在A，B满足，则O，A，B三点共线且A，B不在y轴上，设出直线方程与椭圆、双曲线联立，利用共线得到k的方程，即可得到结论．
【解析】
（1）由y=8-x2=0可得x=
∴椭圆的焦点坐标为（，0），即c=
∵b，e，为等比数列，
∴
∵a2=b2+c2
∴
∴椭圆C1的方程为；
（2）假设存在A，B满足，则O，A，B三点共线且A，B不在y轴上，
设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx
由（1）知，C2的方程为
直线与椭圆方程联立，可得（1+3k2）x2=12，即=
直线方程与双曲线方程联立，可得（1-2k2）x2=8，即
∵，∴
∴
∴
∴
∴存在A，B满足，此时直线AB的方程为．