Question

设x²+y²=2的切线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于点A、B，当|AB|取最小值时，切线l的方程为（ ）
A．x-y-2=0
B．y-x-2=0
C．x+y-2=0
D．y±x-2=0

Answer

设出直线方程，由直线与圆相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，化简可得a与b的关系式，利用此关系式把|AB|2进行变形，利用基本不等式求出|AB|2的最小值，且得到取最小值时a与b的值，把此时a与b的值代入所设的方程中，即可确定出切线的方程．
【解析】
设A（a，0），B（0，b），a＞0，b＞0，
则切线的方程为
∵圆x2+y2=2的圆心坐标为（0，0），半径r=，l与圆相切，
∴圆心到直线的距离d==
∴
∴ab≥4，当且仅当a=b时取等号
∴|AB|==≥2
∴|AB|的最小值为2，此时a=b=2，切线方程为x+y-2=0．
故选C．