Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AB=a．
（Ⅰ）求证：直线A₁D⊥B₁C₁；
（Ⅱ）求点D到平面ACC₁的距离；
（Ⅲ）判断A₁B与平面ADC的位置关系，并证明你的结论．

Answer

（Ⅰ）欲证A1D⊥B1C1，由于BC∥B1C1，∴只要证A1D⊥BC，根据点D是正△ABC中BC边的中点，可证AD⊥BC，故问题得证；
（Ⅱ）先作出点D到平面ACC1的 距离．作DE⊥AC于E，由于平面ACC1⊥平面ABC，所以DE⊥平面ACC1于E，即DE的长为点D到平面ACC1的 距离． 在Rt△ADC中，可求
（Ⅲ）直线A1B∥平面ADC1．欲证A1B∥平面ADC1．只需证明DF∥A1B，连接A1C交AC1于F，则F为A1C的中点，因为D是BC的中点，所以DF∥A1B，利用线面平行的判定定理可证．
【解析】
（Ⅰ）∵点D是正△ABC中BC边的中点，∴AD⊥BC，
又A1A⊥底面ABC，∴A1D⊥BC，∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1．
（Ⅱ）作DE⊥AC于E，∵平面ACC1⊥平面ABC，
∴DE⊥平面ACC1于E，即DE的长为点D到平面ACC1的 距离．  
在Rt△ADC中，AC=2CD=．
∴所求的距离．
（Ⅲ）答：直线A1B∥平面ADC1，证明如下：
连接A1C交AC1于F，则F为A1C的中点，∵D是BC的中点，∴DF∥A1B，
又DF⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1．