Question

有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=13km，BC=10km．今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图）
（Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？
（Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？

Answer

（I）设P的坐标为（0，y），表示出P至三镇距离的平方和，利用配方法，即可得到建立；
（II）P至三镇的最远距离为
解法一：确定函数的单调性，即可求最值，从而可得点P的坐标；
解法二：作出函数的图象，结合图象，可得结论；
解法三：结合图形，分类讨论，确定点P与外心M重合时，P到三镇的最远距离最小．
【解析】
（Ⅰ）设P的坐标为（0，y），则P至三镇距离的平方和为f（y）=2（25+y2）+（12-y）2=3（y-4）2+146．
所以，当y=4时，函数f（y）取得最小值．
答：点P的坐标是（0，4）．
（Ⅱ）解法一：P至三镇的最远距离为
由解得，记，于是
因为在[y*，+∞）上是增函数，而|12-y|在（-∞，y*]上是减函数．
所以y=y*时，函数g（y）取得最小值．
答：点P的坐标是；
解法二：P至三镇的最远距离为 
由解得，记，于是
函数x=g（y）的图象如图（a），
因此，当y=y*时，函数g（y）取得最小值．
答：点P的坐标是；
解法三：因为在△ABC中，AB=AC=13，且，．
所以△ABC的外心M在线段AO上，其坐标为，且AM=BM=CM．
当P在射线MA上，记P为P1；
当P在射线MA的反向延长线上，记P为P2，这时P到A、B、C三点的最远距离为P1C和P2A，且P1C≥MC，P2A≥MA，所以点P与外心M重合时，P到三镇的最远距离最小．
答：点P的坐标是；