Question

设y=f（x）是定义在区间[-1，1]上的函数，且满足条件：（i）f（-1）=f（1）=0；（ii）对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|．
（Ⅰ）证明：对任意的x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x；
（Ⅱ）判断函数是否满足题设条件；
（Ⅲ）在区间[-1，1]上是否存在满足题设条件的函数y=f（x），且使得对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|=u-v．
若存在，请举一例：若不存在，请说明理由．

Answer

（I）利用（ii），可得当x∈[-1，1]时，有|f（x）|=|f（x）-f（1）|≤|x-1|=1-x，从而可得结论；
（II）分类讨论，验证满足条件（i），（ii）即可；
（III）利用反证法，结合条件，引出矛盾即可．
（Ⅰ）证明：由题设条件可知，当x∈[-1，1]时，有|f（x）|=|f（x）-f（1）|≤|x-1|=1-x，
即x-1≤f（x）≤1-x．
（Ⅱ）【解析】
函数g（x）满足题设条件．
验证如下：g（-1）=0=g（1）．
对任意的u，v∈[-1，1]，
当u，v∈[0，1]时，有|g（u）-g（v）|=|（1-u）-（1-v）|=|u-v|；
当u，v∈[-1，0]时，同理有|g（u）-g（v）|=|u-v|；
当u•v＜0，不妨设u∈[-1，0），v∈（0，1]，有|g（u）-g（v）|=|（1+u）-（1-v）|=|u+v|≤|v-u|．
所以，函数g（x）满足题设条件．
（Ⅲ）【解析】
这样满足的函数不存在．
理由如下：假设存在函数f（x）满足条件，则由f（-1）=f（1）=0，得|f（1）-f（-1）|=0，①
由于对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|=|u-v|．
所以，|f（1）-f（-1）|=|1-（-1）|=2．②
①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在．