Question

如图，三棱锥A-BCD的底面是等腰直角三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=BD=2，E是棱CD上的任意一点，F、G分别是AC、BC的中点，则在下面的命题中：①平面ABE⊥平面BCD；②平面EFG∥平面ABD；③四面体FECG的体积最大值是，真命题的个数是（ ）

A．0
B．1
C．2
D．3

Answer

由AB⊥平面BCD，AB⊂平面ABE，知平面ABE⊥平面BCD；由F、G分别是AC、BC的中点，知FG∥平面ABD，由E是棱CD上的任意一点，知FE和FG都不平行于平面ABD，故平面EFG和平面ABD不平行；点E与点D重合时，四面体FECG的体积最大，由此能求出四面体FECG的体积最大值．
【解析】
∵AB⊥平面BCD，AB⊂平面ABE，
∴平面ABE⊥平面BCD，故①正确；
∵F、G分别是AC、BC的中点，
∴FG∥AB，
∵FG⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，
∴FG∥平面ABD，
∵E是棱CD上的任意一点，
∴FE和FG都不平行于平面ABD，
故平面EFG和平面ABD不平行，即②错误．
∵F、G分别是AC、BC的中点，∴FG∥AB，且FG=AB，
∵AB⊥平面BCD，∴FG⊥平面BCD，
∴点E与点D重合时，四面体FECG的体积最大．
∵三棱锥A-BCD的底面是等腰直角三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=BD=2
∴S△DCG=S△BCD-S△BDG=-=1，
∴四面体FECG的体积最大值V==，故③正确．
故选C．