(1)利用正弦定理解△BCD,得sinBDC=,结合∠BDC为锐角得∠BDC=,由三角形内角和定理算出∠BCD=,即得DC⊥BC;
(2)利用勾股定理的逆定理,证出AC⊥CD,结合BC⊥CD,从而证出CD⊥平面BAC,利用线面垂直判定定理即可证出平面BAC⊥平面ACD;
(3)利用题中数据证出△ABC为直角三角形,从而算出S△ABC=2,由锥体体积公式算出VD-ABC=.再利用解三角形知识算出△ABD的面积,利用等体积转换加以计算即可算出点C到平面ABD的距离.
【解析】
(1)在锐角△BCD中,∠CBD=,BC=,CD=2,
∴由正弦定理,得
解之得sinBDC=,结合∠BDC为锐角可得∠BDC=
∴∠BCD=π-∠CBD-∠BDC=,即DC⊥BC;
(2)在△ACD中,AC=CD=2,AD=,
得AC2+CD2=8=AD2,所以AC⊥CD
∵BC⊥CD,AC、BC是平面BAC内的相交直线
∴CD⊥平面BAC
∵CD⊂平面ACD,∴平面BAC⊥平面ACD;
(3)在△ABC中,AC=2,AB=2,BC=2,
∴AC2+AB2=BC2,得AB⊥AC
∴S△ABC=×AB×AC=2
由(2)知DC⊥平面ABC,故VD-ABC=×S△ABC×CD=
Rt△BDC中,BD==4
在△ABD中,AB=AD=2,所以AD2+AB2=BD2,故AB⊥AD
故S△ABD=×AB×AD=4
设点C到平面ABD的距离为h,
可得VC-ABD=VD-ABC,得S△ABD•h=,
即×4×h=,解之得h=,即点C到平面ABD的距离.