(Ⅰ)求导函数,令f′(x)=0,得,再进行分类讨论:当时,f'(x)≤0;当时,,在(0,1)和上,有f'(x)<0,在上,f'(x)>0,由此即可得到结论;
(Ⅱ)当时,,,确定函数f(x)在(0,2)的最小值,再将对任意x1∈(0,2),当x2∈[1,2]时,f(x1)≥g(x2)恒成立,转化为只需当x∈[1,2]时,gmax(x)≤f(x)min即可,由此可求实数b的取值范围.
【解析】
(Ⅰ)求导函数可得:=
令f′(x)=0,得…(3分)
当时,f'(x)≤0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减 …(4分)
当时,,在(0,1)和上,有f'(x)<0,函数f(x)单调递减,
在上,f'(x)>0,函数f(x)单调递增 …(6分)
(Ⅱ)当时,,
由(Ⅰ)知,函数f(x)在(0,1)上是单调递减,在(1,2)上单调递增,
所以函数f(x)在(0,2)的最小值为…(8分)
若对任意x1∈(0,2),当x2∈[1,2]时,f(x1)≥g(x2)恒成立,
只需当x∈[1,2]时,即可,所以,…(11分)
代入解得
所以实数b的取值范围是. …(13分)