Question

已知矩阵A=（  ），向量α=（）．
（1）求A的特征值λ₁，λ₂和对应的一个特征向量α₁，α₂；
（2）计算A⁵α的值．

Answer

（1）先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．
（2）根据矩阵A的特征多项式求出矩阵A的所有特征值为2和3，然后根据特征向量线性表示出向量β，利用矩阵的乘法法则求出β=3α1+α2从而A5β中求出值即可．
【解析】
（1）矩阵A的特征多项式为f（λ）==λ2-5λ+6=0，
得λ1=2，λ2=3，
当λ1=2时，α1=，当λ2=3时，得α2=．
（2）由β=mα1+nα2=m +n =，
得：解得 ，则β=3α1+α2
∴A5β=A5（3α1+α2）=3（A5α1）+A5α2=3（ α1）+α2=3×25 +35 =．