Question

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[-1，1]．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a，b，c∈R，且，求证：a+2b+3c≥9．

Answer

（Ⅰ）由条件可得 f（x+2）=m-|x|，故有m-|x|≥0的解集为[-1，1]，即|x|≤m 的解集为[-1，1]，故m=1．
（Ⅱ）根据a+2b+3c=（a+2b+3c）（）=1++++1++++1，利用基本不等式证明它大于或等于9．
【解析】
（Ⅰ）函数f（x）=m-|x-2|，m∈R，故 f（x+2）=m-|x|，由题意可得m-|x|≥0的解集为[-1，1]，
即|x|≤m 的解集为[-1，1]，故m=1．
（Ⅱ）由a，b，c∈R，且=1，
∴a+2b+3c=（a+2b+3c）（）
=1++++1++++1
=3++++++≥3+6=9，当且仅当 ======1时，等号成立．
所以a+2b+3c≥9