Question

（选做题）已知矩阵的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．

Answer

根据特征多项式的一个零点为3，可得x=1，再回代到方程f（λ）=0即可解出另一个特征值为λ2=-1，最后利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量．
【解析】
矩阵M的特征多项式为=（λ-1）（λ-x）-4…（1分）
因为λ1=3方程f（λ）=0的一根，所以x=1…（3分）
由（λ-1）（λ-1）-4=0得λ2=-1，…（5分）
设λ2=-1对应的一个特征向量为，
则得x=-y…（8分）
令x=1则y=-1，
所以矩阵M的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为…（10分）