Question

已知抛物线y²=4x的焦点为F，过F作两条相互垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N．求证：直线MN恒过定点．

Answer

若要证直线MN必过定点P，只需求出含参数的直线MN的方程，观察是否过定点即可．因此设出A、B、M、N的坐标，用A、B坐标表示M、N坐标，从而求出直线MN方程，化简得y=（x-3），可得直线必过点（3，0），命题得证．
【解析】
设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4）
把直线AB：y=k（x-1）代入y2=4x，得
k2x2-（2k2+4）x+k2=0，
∴x3==1+，y3=k（x3-1）=
同理可得，x4=1+2k2，y4=-2k
∴kMN==
∴直线MN为y-=（x-1-），即y=（x-3），
结合直线方程的点斜式，可得直线恒过定点P（3，0）．