Question

已知双曲线，直线l过点A（a，0）和B（0，b），且原点到直线l的距离为（c为半焦距），则双曲线的离心率为    ．

Answer

先求出直线l的方程，利用原点到直线l的距离为及c2=a2+b2，建立关系式化简得关于离心率e的方程，求出离心率的平方e2，进而求出离心率．
【解析】
根据题意，得直线l的方程为bx-ay-ab=0，
∵c2=a2+b2
∴原点到直线l的距离为=，
平方去分母得16a2b2=3c4，
∴16a2（c2-a2）=3c4，即16a2c2-16a4=3c4，
两边都除以a4，化简得3e4-16e2+16=0，
解之得 e=或e=2．
∵0＜b＜a，∴e=2（e=舍去）．
故答案为：2