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偶函数f(x)在[0,+∞)上为增函数,若不等式f(ax-1)<f(2+x2)恒...

偶函数f(x)在[0,+∞)上为增函数,若不等式f(ax-1)<f(2+x2)恒成立,则实数a的取值范围为( )
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B.(-2,2)
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根据偶函数图象关于原点对称,得f(x)在[0,+∞)上单调增且在(-∞,0]上是单调减函,由此结合2+x2是正数,将原不等式转化为|ax-1|<2+x2恒成立,去绝对值再用一元二次不等式恒成立的方法进行处理,即得实数a的取值范围. 【解析】 ∵f(x)是偶函数,图象关于y轴对称 ∴f(x)在[0,+∞)上的单调性与的单调性相反 由此可得f(x)在(-∞,0]上是减函数 ∴不等式f(ax-1)<f(2+x2)恒成立,等价于|ax-1|<2+x2恒成立 即不等式-2-x2<ax-1<2+x2恒成立,得的解集为R ∴结合一元二次方程根的判别式,得:a2-4<0且(-a)2-12<0 解之得-2<a<2 故选:B
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