Question

若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x，y＞0，满足f（）=f（x）-f（y）．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）若f（6）=1，解不等式f（x+3）-f（）＜2．

Answer

（Ⅰ）在f（）=f（x）-f（y）中，令x=y=1，能求出f（1）．
（Ⅱ）由f（6）=1，知f（x+3）-f（）＜2=f（6）+f（6），故f（）＜f（6），再由f（x）是（0，+∞）上的增函数，能求出不等式f（x+3）-f（）＜2的解集．
【解析】
（Ⅰ）在f（）=f（x）-f（y）中，
令x=y=1，得f（1）=f（1）-f（1），
∴f（1）=0．
（Ⅱ）∵f（6）=1，
∴f（x+3）-f（）＜2=f（6）+f（6），
∴f（3x+9）-f（6）＜f（6），
即：f（）＜f（6），
∵f（x）是（0，+∞）上的增函数，
∴．解得-3＜x＜9．
故不等式f（x+3）-f（）＜2的解集为（-3，9）．