Question

已知函数，
（1）求f（x）在区间（-∞，1）上的极小值和极大值点；
（2）求f（x）在[-1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值．

Answer

（1）当x＜1时，求导函数，确定函数的单调性，可得f（x）在区间（-∞，1）上的极小值和极大值点；
（2）分类讨论，确定函数的单调性，即可得到f（x）在[-1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值．
【解析】
（1）当x＜1时，f′（x）=-3x2+2x=-x（3x-2），令f′（x）=0，得x=0或x=．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

 x  （-∞，0）  0 （0，）    （，1）
 f′（x） -  0 +  0 -
 f（x）    极小值    极大值  

∴当x=0时，函数f（x）取得极小值f（0）=0，函数f（x）取得极大值点为x=．
（2）①当-1≤x＜1时，f（x）=-x3+x2，
由（1）知，函数f（x）在[-1，0]和[，1）上单调递减，在[0，]上单调递增．∵，
∴f（x）在[-1，1）上的最大值为2．
②当1≤x≤e时，f（x）=alnx．
当a≤0时，f（x）在[1，e]，上单调递增，∴f（x）max=a．
综上所述，当a≥2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为a；当a＜2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为2．