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已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数,对定义域内的任意x1,x2都有f=f...

已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数,对定义域内的任意x1,x2都有f=f(x1)+f(x2),且当x>1时f(x)>0,f(2)=1.
(1)求证:f(x)是偶函数;
(2)f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(3)解不等式f(2x2-1)<2.
(1)根据题意和式子的特点,先令x1=x2=-1求出f(-1)=0,再令x1=-1,x2=x求出f(-x)=f(x),则证出此函数为偶函数; (2)先任取x2>x1>0,再代入所给的式子进行作差变形,利用x2=和且>0,判断符号并得出结论; (3)根据题意和(1)的结论,把不等式转化为f(|2x2-1|)<f(4),再由(2)的结论知|2x2-1|<4,故解此不等式即可. 【解析】 (1)由题意知,对定义域内的任意x1,x2都有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2), 令x1=x2=-1,代入上式解得f(-1)=0, 令x1=-1,x2=x代入上式,∴f(-x)=f(-1•x)=f(-1)+f(x)=f(x), ∴f(x)是偶函数. (2)设x2>x1>0,则= ∵x2>x1>0,∴,∴>0, 即f(x2)-f(x1)>0,∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. (3)∵f(2)=1,∴f(4)=f(2)+f(2)=2, ∵f(x)是偶函数,∴不等式f(2x2-1)<2可化为f(|2x2-1|)<f(4), 又∵函数在(0,+∞)上是增函数,∴|2x2-1|<4,且2x2-1≠0, 即-4<2x2-1<4,且2x2≠1解得:,且x≠, 即不等式的解集为{x|,且x≠}.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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