Question

已知函数f（x）=x³-x，其图象记为曲线C．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）证明：若对于任意非零实数x₁，曲线C与其在点P₁（x₁，f（x₁））处的切线交于另一点P₂（x₂，f（x₂）），曲线C与其在点P₂（x₂，f（x₂））处的切线交于另一点P₃（x₃，f（x₃）），线段P₁P₂，P₂P₃与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S₁，S₂，则为定值．

Answer

（1）先求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0解得的区间为增区间和fˊ（x）＜0解得的区间为减区间，注意单调区间不能并；
（2）先求出点P1与点P2的横坐标的关系，再求定积分求出围成封闭图形的面积S1，利用同样的方法求出面积S2即可．
【解析】
（1）由f（x）=x3-x得f′（x）=3x2-1=，
当和时，f′（x）＞0；
当，时，f′（x）＜0，
因此，f（x）的单调递增区间为和，单调递减区间为，．
（2）曲线C与其在点P1处的切线方程为y=（3x12-1）（x-x1）+x13-x1，即
即y=（3x12-1）x-2x13，由
解得x=x1或x=-2x1故x2=-2x1，进而有
S1=|（x3-3x13x+2x13）dx|=，用x2代替x1，重复上述计算过程，可得
x3=-2x2和，又x2=-2x1≠0，所以S2≠0，因此有