Question

已知函数f（x）=lnx，（a∈R），F（x）=f（x）-g（x）．
（1）是否存在实数a，使以F（x）图象上任意一点P（x，y）为切点的切线的斜率k≤1恒成立？
（2）当a≤时，讨论F（x）的单调性．

Answer

（1）求导函数，以F（x）图象上任意一点P（x，y）为切点的切线的斜率k≤1恒成立，等价于（x＞0）恒成立，分类讨论，可得结论；
（2）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，即可得到F（x）的单调性．
【解析】
（1）F（x）=f（x）-g（x）=
∵以F（x）图象上任意一点P（x，y）为切点的切线的斜率k≤1恒成立，
∴（x＞0）恒成立，
∴（a+1）x2-x-（a-1）≥0①在x＞0时恒成立．
当a≤-1时，①在x＞0时不恒成立
a＜-1时，△=4a2-3，设u（x）=（a+1）x2-x-（a-1），则或
∴；
（2）
令h（x）=ax2-x+1-a（x＞0）
当a=0时，h（x）=1-x，x∈（0，1）时，h′（x）＞0；x∈[1，+∞）时，h′（x）≤0
∴F（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是[1，+∞）；
当a≠0时，由F′（x）=0可得ax2-x+1-a=0
∴
（i）当a=时，x1=x2，h（x）≥0，F′（x）≤0，函数在（0，+∞）上单调递减；
（ii）当0＜a＜时，，x∈（0，1），h（x）＞0，∴F′（x）＜0，函数单调递减；x∈（1，）时，h（x）＜0，F′（x）＞0，函数单调递增；当x∈（，+∞）时，h（x）＞0，∴F′（x）＜0，函数单调递减，
∴函数的单调递减区间是（0，1），（，+∞）；单调递增区间是（1，）；
（iii）当a＜0时，＜0，x∈（0，1），h（x）＞0，∴F′（x）＜0，函数单调递减；x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，F′（x）＞0，函数单调递增，
∴函数的单调递减区间是（0，1）；单调递增区间是（1，+∞）．