Question

设M={（x，y）|y=，a＞0}，N={（x，y）|，a＞0}，且M∩N≠∅，求a的最大值和最小值．

Answer

由题意可得M表示以原点O为圆心，半径等于a的半圆（位于横轴或横轴以上的部分）．N表示以O′（1，）为圆心，半径等于a的一个圆．再由M∩N≠∅，可得半圆和圆有交点．当半圆和圆相外切时，求得a的值；当半圆和圆向内切时，求得a的值，从而求得可得a的最大值和最小值．
【解析】
M={（x，y）|y=，a＞0}，即{（x，y）|x2+y2=2a2，y≥0}，表示以原点O为圆心，半径等于a的半圆（位于横轴或横轴以上的部分）．
N={（x，y）|，a＞0}，表示以O′（1，）为圆心，半径等于a的一个圆．
再由M∩N≠∅，可得半圆和圆有交点，故半圆和圆相且或相切．
当半圆和圆相外切时，由|OO′|=2=a+a，求得a=2-2；当半圆和圆向内切时，由|OO′|=2=2-2，求得a=2+2．
故a的范围是[2-2，2+2]，a的最大值为2+2，最小值为2-2．